Review of The History of Fraction

Salah satu konsep dasar matematika adalah pecahan. Konsep pecahan adalah konsep matematika dari suatu pecahan dan dapat dipandang sebagai relasi atau rasio antara dua bilangan. Sebuah bilangan pecahan (fraction) adalah bilangan yang menyatakan bagian dari keseluruhan bagian. Dalam notasi matematika, bilangan pecahan dinyatakan dengan , dengan a, b bilangan bulat  dan . Bilangan a disebut pembilang (numerator) dan b sebagai penyebut (denominator).

Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan ini akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar, tetapi tetap mempunyai nilai yang sama.

Dalam cara pendekatannya, pecahan terdiri atas tiga model. Model pertama disebut model bagian kelompok yang mengasosiasikan pecahan dengan bagian dari suatu kelompok. Model kedua disebut model bagian luasan. Dan model ketiga disebut model garis bilangan yang mengasosiasikan pecahan dengan titik pada suatu garis bilangan.

Ada beberapa jenis pecahan dalam pembelajaran matematika, diantaranya pecahan biasa, pecahan campuran yaitu pecahan dengan campuran bilangan cacah dan pecahan biasa, pecahan desimal, dan pecahan persen yaitu pecahan dalam bentuk per seratus.

Jenis-jenis pecahan tersebut dapat dioperasikan dalam operasi dasar aritmatika yang melibatkan pecahan, yaitu operasi penjumlahan pecahan, operasi pengurangan pecahan, operasi perkalian pecahan, dan operasi pembagian pecahan. Dalam menjumlahkan pecahan dengan penyebut sama, kita hanya perlu menjumlahkan pembilangnya saja. Untuk menjumlahkan pecahan yang berpenyebut tidak sama, kita harus mengganti pecahan tersebut sehingga penyebut yang baru merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebut semula, serta mencari kelipatan masing-masing pecahan. Untuk menjumlahkan pecahan campuran, caranya yaitu menyamakan penyebut dengan nilai pembilang disesuaikan, menjumlahkan bilangan bulat dan mengelompokkan pecahan, menjumlahkan pecahan, mengubah pecahan biasa ke pecahan campuran, dan menjumlahkan bilangan bulat.

Bilangan pecahan pertama kali digunakan oleh bangsa Mesir Kuno sekitar tahun 1600 SM. Hal ini dapat dilihat dari tulisan di Papyrus Ahnes. Pada waktu itu, bangsa Mesir hanya menggunakan pecahan satuan, yaitu pecahan yang pembilangnya berupa angka satu untuk menyatakan perbandingan. Adapun pecahan-pecahan ditunjukkan dengan menambah pecahan-pecahan satuan secara bersamaan. Pecahan tersebut ditulis dengan bahasa Hieroglyph.

Pada saat yang bersamaan dengan bangsa Mesir Kuno, bangsa Cina Kuno juga mulai mengenal pecahan. Mereka menyebut ‘penyebut’ dan ‘pembilang’ sebagai ‘ibu’ dan ‘anak’. Bangsa Romawi dan Babilonia juga mengembangkan pecahan yang sama, dengan pembilangnya saja. Bangsa Romawi menggunakan 12 sebagai penyebutnya. Sedangkan bangsa Babilonia menggunakan 60 sebagai penyebutnya.

Konsep pecahan dapat ditelusuri kembali dari Babilonia, yang telah menggunakan sistem nilai letak. Pada sebuah tablet Babilonia Kuno, terdapat sebuah bilangan yang menunjukkan akar kuadrat dari dua. Bilangan tersebut adalah 1,414222, sebuah angka yang cukup kompleks untuk nilai dari .

Bangsa Mesir Kuno dan Yunani Kuno hanya menggunakan angka 1 sebagai pembilang dalam pecahan. Sedangkan bangsa Romawi Kuno menggunakan sistem kata-kata yang menunjukkan bagian dari keseluruhan.

Orang-orang Hindu diyakini adalah orang pertama yang menunjukkan pecahan dengan angka, bukan dengan kata-kata. Brahmagupta dan Bhaskara adalah matematikawan Hindu pertama yang menulis pecahan seperti pecahan saat ini, tapi tanpa bar (garis horisontal antara pembilang dan penyebut).

Langkah berikutnya dalam evolusi notasi pecahan adalah penambahan bar di atasnya. Kemudian diperbaiki sehingga bar ini diletakkan diantara pembilang dan penyebut. Pecahan seperti ini diperkenalkan pada tahun 1700-an. Ini karena bar horisontal adalah sulit untuk digunakan karena mengambil tiga baris teks yang merupakan kekacauan dalam menangani mesin cetak, sehingga  bilangan pecahan tersebut ditulis dengan bar diagonal. Penggunaan pertama bar diagonal dalam pecahan terdapat dalam dokumen tulis tangan, Ledger Thomas Twining pada tahun 1718. Bar diagonal pertama kali dicetak pada tahun 1784, ketika sebuah garis melengkung menyerupai tanda integrasi digunakan dalam Gazetas de Meksiko oleh Manuel Antonio. Kemudian bar diagonal tersebut diberi nama dengan garis miring seperti yang kita kenal sekarang.

Sebuah simbol terkait yang umum digunakan, tetapi sebagian besar masyarakat tidak mengetahui namanya. Misalnya, simbol  disebut sebagai tanda palang. Meskipun simbol ini tidak digunakan dalam penulisan untuk menunjukkan sebuah pecahan, namun simbol ini sangat familiar di masyarakat karena digunakan pada kalkulator untuk menunjukkan pembagian dan atau pecahan.

Sekarang pecahan umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam penulisan resep, pembuatan pakaian, dan lain-lain termasuk dalam pembelajaran matematika dan notasi sederhana.

Men of mathematics

Men of mathematics adalah buku yang berisi tentang kehidupan sekitar 40 matematikawan pada abad ke-17, ke-18 dan ke-19. Buku ini ditujukan kepada pembaca yang ingin mengetahui kehidupan para matematikawan yang telah menciptakan matematika modern.

Dalam buku ini berisi kehidupan dan kepribadian para pencipta matematika modern. Terdapat kriteria dalam pemilihan nama dalam buku, yaitu karyanya, serta kehidupan dan karakternya, seperti Pascal, Abel, Galois, Gauss dan Cayley.

Berikut ini akan dipaparkan kehidupan beberapa matematikawan yang menarik seperti Gauss, keluarga Bernoulli, Newton, dan sebagainya.

Issac Newton

Newton merupakan orang yang menganggap dirinya hanya seorang anak kecil yang menemukan pasir dan karang yang lebih cantik dari biasanya, padahal ada hal besar di luar sana yang belum ia temukan. Namun, menurut generasi penerusnya, Newton adalah orang yang jenius yang berbeda dengan kebanyakan orang. Issac Newton lahir pada hari natal 1642 dari keluarg apetani.

Pendidikan awal Newton berawal dari sekolah desa di dekat tempat tinggalnya. Menurut saran pamannya, ia kemudian masuk ke sekolah tata bahasa Grantham. Pamannya mengetahui kehebatan Newton. Ia kemudian memasukkan Newton untuk belajar di Cambridge.

Newton menemukan beberapa teorema dalam ilmu matematika. Salah satunya adalah Teorema Fundamental Kalkulus, Newton mengatakan bahwa terdapat hubungan atau kebalikan antara kalkulus integral dan kalkulus diferensial.

Keluarga Bernoulli

Sejarah keluarga Bernoulli merupakan yng paling menonjol, karena dalam 3 generasinya telah melahirkan 8 matematikawan. Tidak kurang dari 120 keturunan Bernoulli adalah ilmuwan ternama di bidang hukum, sains, seni, literatur, profesi akademis, administrasi dan seni. Yang paling menarik adalah matematikawan pada generasi ke-2 dan ke-3, karena mereka tidak memilih matematika sebagai bidang profesinya, melainkan mengalami persimpangan dan lantas kembali ke matematika.

Perkembangan matematika tidak akan menjadi seperti sekarang tanpa peran keluarga Bernoulli. Perkembangan kalkulus dan aplikasinya pada abad ke-17 dan ke-18 makin cepat dan terus menyebar karena peran keluarga Bernoulli dan Euler yang hidup sejaman.

Mula-mula Bernoulli Senior adalah keluarga Protestan yang mengungsi dari Antwerp tahun 1583 karena pembantaian orang Katholik. Sebelum pindah ke Swiss dan menetap di Basel, mereka tinggal di Frankfort. Bernoulli menikah dengan wanita dari keluarga terpandang di Basel dan menjadi pedagang rempah-rempah.

Nicolaus Senior adalah seorang pedagang. Ketiga anaknya menikah dengan putri pedagang, sehingga membuat Nicolaus menjadi seorang pedagang besar. Profesi berdagang keluarga Bernoulli kemudian disusul oleh profesi di bidang obat-obatan. Bakat matematika dari keluarga pedagang ini muncul secara tiba-tiba.

Jacob I merupakan generasi pertama dari keluarga Bernoulli. Dia merupakan anak pertama dari Nicoolaus Senior. Menguasai kalkulus versi Leiniz yang dipelajarinya sendiri. Dia menjabat sebagai profesor matematika di Basel sejak 1687 sampai wafat. Dia mengembangkan kalkulus yang tidak disentuh oleh Newton dan Leibniz dan menerapkannya untuk menyelesaikan masalah baru yang sangat penting bagi perkembangan kalkulus. Kontribusinya juga pada bidang geometri analitik, teori probabilitas, dan variasi kalkulus.

Awalnya dia mempelajari filsafat (1671), theologi (1776), kemudian menekuni astronomi dan tidak mau meneruskan bisnis rempah-rempah ayahnya. Setelah lulus theologi, dia pergi ke Perancis selama 2 tahun untuk menjadi murid Rene Descartes. Setelah cocok dengan matematika, dia mulai surat-menyurat dengan Boyle dan Hooke dari Inggris. Dia juga tertarik pada astronomi. Karya pertamanya di bidang astronomi adalah membetulkan teori komet.

Penemuan bahwa brachistocrone adalah sikloid telah diungkapkan sebelumnya. Sikloid adalah sebuah kurva dengan garis yang curam ditemukan oleh Jacob I dan saudaranya Johannes I pada tahun 1697. Namun, sikloid juga merupakan tautochrone (pengulangan terus-menerus). Ini merupakan contoh masalah singkat variasi kalkulus. Meskipun terlihat sepele, semua bidang matematika fisis sering berhubungan dengan prinsip variasi sederhana, seperti temuan Fermat di bidang Optik dan Hamilton di bidang dinamik.

Teori probabilitas diterbitkan sebagai buku berjudul Ars Conjectandi pada tahun 1713 yang berisi teori-teori probalitas yang berguna hingga sekarang pada bidang asuransi, statistika, dan pembelajaran matematika tentang keturunan.

Penelitian Jacob I yang lain menunjukkan seberapa jauh ia mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral, melanjutkan karya Leibniz, Jacob I mendalami catenaris, yaitu kurva seragam yang membentang di antara 2 titik atau termuat dalam rangkaian. Pengembangan matematika yang dilakukan oleh Jacob I diaplikasikan untuk jembatan gantung dan transmisi kawat tegangan tinggi.

Hubungan Jacob I dan Johannes I tidak berjalan baik. Johannes memperlakukan kakaknya, Jacob I dengan baik kemudian tidak jujur ketika mereka mempelajari isoperimetrical. Johannes tidak hanya berusaha mencuri ide kakanya, ia juga membuang anak laki-lakinya yang baru saja mendapatkan penghargaan dari Akademi Sains Perancis.

Motto dari Jacob I adalah “Invito patre sidera verso”, (melawan kemauan ayah saya mempelajari bintang-bintang). Ayahnya menghalangi bakat Jacob I dalam matematika dan astronomi. Jika ia tidak melawan ayahnya, maka ia akan menjadi seorang ahli ilmu agama.

Johannes I merupakan adik dari Jacob I. Ia memulai karir di bidang kedokteran sebagai seorang dokter. Leibniz dan Euler adalah Tuhan baginya. Namun, secara jelas dia justru membenci Newton dan cenderung meremehkannya. Mulanya, ayahnya menyuruhnya untuk mengurus bisnis keluarga, namun ia juga melawan keinginan ayahnya tersebut dan justru mempelajari ilmu kedokteran dan ilmu sosial. Saat berumur 18 tahun ia mengambil gelar MA (S2) di bidang kedokteran, namun ia kemudian beralih pada matematika. Ia menjadi profesor matematika di Groningen pada tahun 1965, dan di Basel pada tahun 1705.

Johannes I mempunyai bakat lebih beragam daripada kakanya, Jacob I. Selain menyebarkan kalkulus ke seluruh Eropa, ia juga mempelajari fisika, kimia, astronomi, dan pada bidan terapan, ia memiliki kontribusi di bidang optik, menulis teori tentang gelombang laut dan teori matematika tentang pelayaran, selain mencoba melakukan penelitian tentang mekanika. Dia aktif berkarya sampai umur 80 tahun.

Nicolaus I merupakan adik Jacob I dan kakak Johannes I. Ia juga mempunyai bakat di bidang matematika. Pada umur 16 tahun, ia mendapat gelar di bidang filsafat di Universitas Basel, dan pada umur 20 tahun ia melanjutkan di bidang hukum. Ia menjadi profesor hukum pertama di Bern yang mendirikan fakultas matematika di St. Peterburg. Ketika ia wafat, ia memperoleh kehormatan tinggi dari Ratu Cathrine.

Peran keturunan mulai tampak pada generasi ke-2. Daniel merupakan anak ke-2 Johannes I. Ia dipaksa ayahnya untuk meneruskan bisnis keluarga. Ia sebenarnya memiliki minat di bidang matematika, namun dengan alasan tidak punya uang, Daniel dikirim untuk mempelajari obat-obatan di Universitas Basel. Pada usia 11 tahun, Daniel mulai belajar matematika pada kakaknya, Nicolaus III. Daniel dan Euler adalah teman akrab sekaligus saingan. Daniel mendapatkan penghargaan dari Akademi Perancis sebanyak 10 kali, karya puncaknya adalah hidrodinamik yang dikembangkan olehnya yang kemudian disebut sebagai energy conservation.

Pada umur 25 tahun, Daniel menjadi profesor matematika di St. Peterburg (didirikan Nicolaus I). Dia pulang ke Basel 8 tahun kemudian dan menjadi profesor di bidang anatomi, botani, dan fisika. Karyanya di bidang matematika mencakup kalkulus, persamaan diferensial, teori probabilitas, teori tentang getaran dawai, meneliti teori kinetik gas dan menyelesaikan problem-problem dalam matematika terapan. Daniel Bernoulli juga maerupakan penemu disiplin ilmu fisika.

Johannes II merupakan adik bungsu dari Nicolaus III dan Daniel. Mengawali karirnya di bidang hukum dan diangkat menjadi profesor kehormatan di Basel, sebelum menggantikan kursi ayahnya di bidang matematika. Karya utamanya di bidang fisika dan memenangkan 3 penghargaan di Paris (salah satunya sebagai matematikawan terbaik).

Johannes III merupakan generasi ke-3 yang merupakan anak dari Johannes II. Seperti ayahnya, dia mulai dengan belajar hukum. Pada umur 13 tahun, ia mengambil gelar doktor di bidang filsafat. Baru saat berumur 19 tahun, ia menemukan minatnya dan menjadi astronomer kerajaan di Berlin. Minatnya meliputi astronomi, geografi, dan matematika.

Jacob II merupakan adik dari Johannes III. Ia mengawali dengan menekuni hukum sebelum beralih menekuni fisika pada usia 21 tahun. Akhirnya berganti ke matematika dan menjadi anggota Akademi St. Peterburg jurusan matematika dan fisika.

Saat umur 30 tahun, dia meninggal karena demam. Belum diketahui hasil karya-karyanya, yang jelas ia menikah dengan salah seorang cucu Euler.

Daftar keturunan keluarga Bernoulli tidak pernah ada habisnya, tetapi relatif kurang menonjol dibandingkan dengan generasi pertama dan ke-2.

Sejarah juga mencatat kiprah keluarga Darwin dan Galton. Kisah Francis Galton (sepupu Charles Darwin) sepertinya sangat menarik karena pembelajaran matematika tentang keturunan ditemukan oleh dia sendiri.

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss lahir pada tahun 1777 di Brunswick, Jerman. Kakek Gauss adalah seorang petani miskin di Brunswick dan bertahan hidup dengan menjadi tukang kebun. Ayah Gauss lahir pada tahun 1744 dan sehari-hari bekerja sebagi tukang kebun, menggali selokan, dan kadang menjadi tukang batu.

Ibu Gauss, Dorothea Benz adalah anak dari tukang perancah baru. Adik laki-laki Dorothea, Friedrich yang merupakan orang pertama yang menemukan bakat Gauss yang muncul sejak umur 3 tahun. Dia kemudian mengajarkan logika pada Gauss, melakukan observasi terhadap obyek tertentu, dan falsafah hidup.

Gauss kecil mendapat perilaku yang kasar dari Gerhard, ayahnya. Mereka tidak ingin Gauss mewarisi profesi keluarga sebagai tukang kebun. Ketika Gauss berumur 19 tahun, Dorothea bertanya kepada Wolfgang Bolyai tentang anaknya, dan Bolyai menjawab, “Gauss adalah matematikawan terbesar di Eropa”.

Bakat Gauss terlihat sejak ia berumur 3 tahun. Saat ayahnya menerima upah mingguan, Gauss ada di belakangnya. Gerhard menerima upahnya tanpa menghitung, namun Gauss berkata perhitungannya salah. Setelah dihitung ulang, ternyata angka yang disebutkan Gauss benar.

Saat umur 7 tahun, Gauss dikirim ke sekolah lokal. Tidak ada prestasi yang menonjol sampai usianya 10 tahun, saat memasuki pelajaran aritmatika.

Karena Buttner tidak sanggup lagi mengajar Gauss, dia mengalihkan tanggung jawa ke asisten muda, Johann Martin Bartels. Bartels dan Gauss belajar bersama, saling membantu dan menulis pembuktian-pembuktian dalam bidang aljabar dan analisis dasar.

Gauss dengan cepat menguasai teorema Binomial. Ia bertanya pada dirinya sendiri, apakah suatu deret tak hingga konvergen, dan apakah diperbolehkan menghitung fungsi matematika yang digunkan untuk merepresentasikan deret. Hal ini mengantarnya pada pembuktian teorema binomial dan kemudian membawanya pada matematika analisis.

Pada umur 12 tahun, Gauss merasakan keanehan dalam konsep geometri Euclid. Dan pada 16 tahun, ia mulai menggagas geometri selain Euclid. setahun kemudian di amencari lubang pembuktian teori bilangan yang memuaskan pendahulunya, namun hanya dianggap sebagai karya setengah jalan, sebelum memasuki bidangnya aritmatika.

Kejeniusan Gauss terdengar oleh bangsawan Brunswick, ferdinand. Pada usia 15 tahun, Gauss dimasukkan di College Caroline di Brunswick, dengan jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika.

Gauss belajar di College Caroline selama 3 tahun. Dan selama itu ia telah menguasai karya-karya Euler, Lagrange dan Newton. Ia juga mempelajari aritmatika tingkat tinggi. Ia menemukan the gem of arithmatic (teorema aureum).

Gauss juga menemukan tentang modulo dan kuadrat berulang yang sulit dibuktikan dan bahkan membingungkan Euler dan Legrende.

Saat berusia 18 tahun, Gauss masuk Universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan. Dia kemudian memilih bidang matematika ketika menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan kompas dan penggaris. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar Gauss.

Gauss menemukan tentang periode ganda fungsi elips. Namun, karya pertamanya, Disquisitiones Arithmetica ditolak oleh Akademi Sains Perancis.

Salah satu teman baiknya di universitas adalah Wolfgang Bolyai, bangsawan Hongaria yang kelak anak laki-lakinya menemukan geometri non-Euclidean. Bolyai sendiri mengagumi kejeniusan Gauss.

Pada usia 21 tahun, Gauss kembali ke Brunswick. Gauss tidak suka dengan ayahnya yang kasar dan berkelakuan buruk, sehingga ia tinggal sendiri di rumah lain. Tidak lama setelah itu, ia menulis surat pada Bolyai dan mengatakan ia sudah tidak punya uang lagi. Mendengar ini, Ferdinand mengirim uang dan menjamin Gauss jangan pernah berpikir tentang uang lagi. Selama beberapa bulan, ia belajar di perpustakaan Helmstedt milik univesitas Helmstedt yang dikelola oleh matematikawan sekaligus pustakawan, Johaan Friedrich Pfaff. Pfaff dikagumi oleh Gauss, dandisebut sebagai matematikawan paling terkenal di Jerman karena kesederhaan dan sikap terbukanya.

Setelah tertunda selama 3 tahun, Disquisitiones Arithmetica akhirnya dicetak dan diterbitkan pada tahun 1801.

Gauss juga menulis buku berjudul Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang berisi pembuktian teorema dasar aljabar, yaitu membuktikkan bahwa polinomial pangkat n mempunyai hasil akar pangkat n juga.

Gauss kemudian membagi bilangan dimulai dari bilai bilangan kompleks, kemudian diturunkan bilangan-bilangan lain, seperti bilangan riil dan sebagainya.

Keberadaan bilangan kompleks tidak mempengaruhi aljabar, tapi juga berdampak pada analisi dan geometri. Teori fungsi dari bilangan kompleks kemudian dikembangkan, sehingga dikenal bilangan-bilangan setengah riil dan setengah imajiner.

Minat pada matematika Gauss sempat terhenti pada usia 24 tahun dan berubah menjadi astronomi. Hal ini dikarenakan tidak ada universitas yang menghargai bakat matematikanya yang terus didorong kesulitan finansial.

Gauss kemudian mengambil jalan cepat meraih prestasi akademik, ketenaran dan uang melalui astronomi. Saat itu, diketahui beberapa planet kecil dan Gauss berupaya menghitung orbit dengan matematika. Pada tahun 1801, Akademi Sains St. Peterburg menunjuk Gauss menjadi direktur observatorium.

Gauss selalu mengalami kesulitan menjadi seorang pengajar. Cara pandangnya yang kelewat jauh membuat siswa-siswanya frustasi. Sebaliknya, Gauss menganggap siswa-siswanya tidak pernah siap menghadapi kuliah. Buku karya Gauss juga sulit dipahami, dimana salah seorang yang mampu memecahkannya adalah teman sekaligus muridnya, Dirichlet.

Gauss menikah dengan gadis bernama Johanna Osthoff, putri seorang penyamak kulit kaya raya pada tahun 1805 dan mempunyai 3 anak, yaitu Joseph, Minna, dan Louis.

Tahun 1807, setahun setelah meninggalnya Ferdinand, Gauss memboyong keluarganya ke Gottingen, tempat dia diangkat menjadi direktur observatorium. Kematian Ferdinand ternyata adalah awal keterpurukan Gauss. Kurang dari 3 tahun sejak itu, ayah kandungnya; pamannya, Friedrich; istrinya dan anak bungsunya semuanya meninggal. Istrinya meninggal pada tahun 1809, namun kurang dari satu tahun kemudian, Gauss menikah dengan Friedrica Wilhelmine, anak rekan sesama profesor di Gottingen. Selama 6 tahun, istrinya memberinya 3 anak, yaitu Eugene, Wilhelm dan Therese, sebelum ia divonis terkena TBC. Gauss kemudian mengundang ibunya untuk tinggal di rumahnya sambil mengurus istrinya yang selalu di tempat tidur, dan mengasuh ketiga anak balitanya. Istrinya kemudian meninggal pada tahun 1831.

Penelitian geodesi diselesaikannya dalam kurun waktu 10 tahun. Hasil matematika lewta penelitian itu adalah geometri diferensial, teori-teori permukaan bidang, statistika dan teori probabilitas. Sumbangasih Gauss dalam teori probabilitas adalah kurva Gaussian yang sering disebut dengan hukum Gauss tentang distribusi nirmal atau yang sekarang dikenal dengan kurva yang berbentuk lonceng.

Gauss adalah seorang perfeksionis. Makalah-makalah karyanya adalah contohnya. Teorema-teorema akan dibuktikan dengan akurasi tinggi dan elegan, dengan segala rincian dan prosedure yang lengkap, sehingga karyanya sulit dipahami dibandingkan dengan karya Euler yang gamblang, imajinatif dan lebih mengutamakan kejelasan. Gauss tidak akan mengeluarkan karyanya sebelum segalanya sempurna. Orang menyebutnya egois dan tidak mau membantu atau memberi dukungan kepada para matematikawan muda. Aljabar, geometri, analisis, aritmetika atau teori bilangan adalah bidang-bidang yang dikembangkan Gauss. Secara teori, Gauss juga mendalami astronomi, magnetisme, topologi, kristalografi, optik dan elektrik. Laplace menyebut Gauss sebagai matematikawan terbesar di dunia. Sedangkan kalangan raja memberi gelar “Pangeran Matematika”.

Murid kesayangannya, Einstein yang selalu dipuji lebih hebat dari Archimedes dan Newton meninggal pada usia muda. Tiga tahun kemudian putri dari istri pertamanya meninggal dalam pelarian karena diusir dari Gottingen karena suaminya terlibat aktivitas politik. Gauss mendukung Eugene  dan menjadi jutawan. Gauss mendukung Eugene menekuni bidang hukum, tetapi malah menjadi penjudi kalah yang selalu mengirim tagihan kepada bapaknya. Akhirnya, Eugene pergi ke amerika, disusul oleh adiknya, Wilhelm. Gauss akhirnya tinggal bersama anak terakhirnya, Theresa dengan hidup sederhana.

Masa tuanya dihabiskan dengan berada di perpustakaan universitas, mengumpulkan koran-kotan dari seluruh Eropa untuk ditumpuk dan dibaca satu-persatu. Terakhir, sering mengeluhkan kesehatan yang memburuk, insomnia, dan dyspepsia. Pada usia 77 tahun, Gauss mengalami pembengkakan jantung. Nafasnya pendek sehingga tidak mampu lagi jalan ke perpustakaan, bahkan ke luar rumah. Gauss meninggal pada 23 Februari 1855 karena serangan jantung. Gauss dikebumikan di pemakaman St. Albans di Gottingen, berdekatan dengan makam ibunya.

History of Infinity

Dalam matematika, ‘tak terhingga’ sering dianggap sebagai angka yang jumlahnya tak terbatas, tetapi bukan merupakan bilangan real. Goerg Cantor pada tahun 1884 menunjukkan bukti matematika dan teori yang lengkap tentang ketakhinggaan (infinity) dalam matematika yang merupakan dasar bagi matematika modern. Salah satu hasil yang ditunjukkan oleh Cantor adalah adanya hierarki yang tak terhingga dari ketakhinggaan. Namun, dalam matematika, konsep ketakhinggaan untuk hierarki ketakhinggaan tampaknya tidak terlalu banyak diperhatikan penggunaanya.

Dalam budaya kuno, terdapat berbagai gagasan tentang sifat tak terhingga.  Pada abad ke-5, orang-orang Yunani telah menemukan masalah ‘tak terbatas’ pada tahap awal perkembangan matematika dan sains. Mereka kemudian menyadari bahwa ‘kita dapat terus membagi suatu materi menjadi potongan yang lebih kecil dan lebih kecil lagi sampai mencapai potongan kecil yang tidak bisa dibagi lagi’. Pythagoras telah menegaskan bahwa ‘semua adalah angka’ dan alam semesta itu terdiri dari bilangan asli yang terbatas. Lalu, ada atomis yang meyakini bahwa materi itu terdiri dari jumlah yang tak terbatas. Zeno dari Eleatic School juga sependapat dengan atomis tersebut. Namun, paradoks Zeno menunjukkan bahwa pernyataan materi dapat dibagi terus menerus pada teori atom ke-2 menyebabkan kontradiksi yang jelas.

Namun, Aristoteles tampaknya tampaknya tidak sepenuhnya menghargai arti penting dari pendapat Zeno tersebut, tetapi menganggap bahwa infinitemembawa masalah baginya. Aristoteles menentang teori infinite yang sebenarnya. Dia menganggap bahwa kita tidak mungkin bisa membayangkan bilangan asli secara keseluruhan. Namun, angka-angka tersebut merupakan infinite potensial yang artinya setiap bilangan yang terbatas selalu terdapat bilangan terbatas yang lebih besar.

Terdapat kemajuan luar biasa yang dibuat oleh bangsa Babel yang memperkenalkan sistem nilai letak untuk pertama kalinya, memungkinkan representasi singkat untuk nomor tak terbatas. Aristoteles juga meyakini argumen tersebut. Namun, hanya pada jumlah terbatas bilangan asli yang pernah dituliskan.

Mempertimbangkan pada pendapat Aristoteles, para matematikawan Yunani hanya mengizinkan infinite potensial, terutama Euclid. dalam bukunya Elemen, Euclid sebenarnya tidak membuktikan himpunan bilangan prima adalah tak terbatas. Namun, Euclid membuktikan bahwa bilangan prima berpotensi tak terbatas.

Belakangan, telah ada bukti yang menunjukkan bahwa tidak semua ahli matematika kuno merasa dibatasi dengan hanya berrusan dengan potensial tak terbatas. Achimedes kemudian menyelidiki nomor tak terbatas dari suatu objek pada metode dalam Archimedes palimpsest. Archimedes membahas tak terbatas sebenarnya hampir sama dengan nomor pada umumnya.

Pada abad ke-7 matematikawan India memperkenalkan nol dalam sistem bilangan mereka. Mereka berpikir bagaimana membuat nol ke dalam operasi aritmatika. Ini merupakan upaya untuk membawa tak terbatas dan nol ke dalam sistem nomor. Bhaskara II kemudian berargumen bahwa nol dikalikan dengan infinite, hasilnya harus sama dengan setiap bilangan n, jadi semua bilangan adalah sama.

Thomas Aquinas, teolog dan filsuf Kristen, berpendapat berdasarkan fakta bahwa tidak ada jumlah yang tak terbatas. Sebuah himpunan tak terbatas sebenarnya memerlukan ukuran, dan ukuran tersebut mungkin tampak bagi Aquinas.

Pada pertengahan abad 15, Nicholas dari Cusa berpendapat bahwa alam semesta adalah tak terbatas. Pada abad ke-16, Gereja Katolik di Eropa mulai membasmi argumen tersebut. Bahkan, Giordano Bruno yang juga berpendapat bahwa alam semesta adalah tak terbatas, disiksa selama 9 tahun untuk membuatnya setuju bahwa alam semesta itu terbatas sampai akhirnya dia dibakar di tiang.

Melihat nasib Bruno, Galileo menjadi sangat berhati-hati saat mengajukan pendapatnya. Dia kemudian memberi paradoks yang mirip dengan paradoks lingkaran, namun dengan jumlah tak terbatas.

Pada tahun 1635, Cavalieri menulis ‘Geometria Indivisibilibus Continuorum, ia menganggap bahwa setiap garis terdiri dari titik-titik yang tak terhingga banyaknya dan bidang terdiri dari garis yang tak terhingga banyaknya. Dia memperkenalkan metode membandingkan daerah yang dikenal sebagai ‘Prinsip Cavalieri’.

Berdasarkan pada pemikiran Cavalieri, Roberval memperkenalkan metode untuk membandingkan ukuran. Ini merupakan langkah nyata untuk menuju ke tak terbatas karena untuk pertama kalinya ia mampu mengabaikan besaran yang sangat kecil. Namun, ada perbedaan antara bisa manggunaka metode ini dengan benar dan menuliskan kondisi yang tepat. Akibatnya, muncul paradoks yang membuat beberapa orang menolak metode Roberval ini.

John Wallis kemudian memperkenalkan simbol untuk tak terhingga dalam bukunya ‘De Sectionibus Conicis’. Ada dugaan bahwa simbol ini berasal dari angka Romawi untuk 1000 yang tampak seperti ClƆ. Dugaan lain adalah bahwa ia berasal dari huruf Yunani omega, yang merupakan huruf terakhir dalam abjad Yunani.

Leibniz kemudian berspekulasi luas tentang nomor yang tak terbatas dan penggunaannya dalam matematika. Bagi Leibniz, baik infinitesimal maupun jumlah yang tak terbatas adalah entitas yang ideal.

Bentuk yang berbeda dari infinity adalah ordinal dan kardinal. Goerge Cantor mengembangkan sistem nomor transfinite. Konsepsi matematika modern dengan kuantitas yang tak terbatas kemudian dikembangkan pada akhir abad 19 oleh Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind, dan lainnya menggunakan ide dari himpunan.

Sumber :

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity

http://matematiku.wordpress.com/2011/01/03/ketakhinggaan-infinity-dalam-matematika/

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Infinity.html

The Story of Mathematics

Bermula dari penemuan manusia yang paling awal sampai saat ini, dimana teknologi sudah begitu canggih, matematika selalu menjadi pusat dalam kehidupan setiap manusia. Sejarah matematika dimulai dari budaya Mesir Kuno, Mesopotamia dan Yunani. Di dalam budaya Yunani Kuno, terdapat dasar-dasar perhitungan matematika. Namun, peradaban Yunani Kuno kemudian mengalami kemunduran, begitu juga dengan matematika. Tapi itu di Barat. Di Timur, matematika mencapai puncak kejayaannya. Banyak terobosan-terobosan baru yang ditemukan. Inilah kisah matematika Timur yang akan mengubah dunia Barat dan melahirkan dunia modern.

The Genius of The East

China

Dimulai dengan matematika di Cina. Tembok Besar China yang panjangnya mencapai ribuan mil, dibuat selama hampir 2000 tahun, dimulai pada 220 SM. Saat akan membangun, bangsa China Kuno menyadari bahwa mereka harus membuat perhitungan tentang jarak, sudut elevasi dan jumlah material yang dibutuhkan. Jadi beberapa matematikawan China terinspirasi untuk membantu membangun imperial China tersebut.

Di China Kuno, matematika merupakan sistem yang sangat sederhana, yang menjadi dasar untuk cara menghitung yang kita gunakan saat ini. Dimulai ketika seorang matematikawan ingin menggunakan batang bambu kecil yang disusun untuk mewakili angka 1 sampai 9.

Mereka kemudian ditempatkan dalam kolom-kolom yang mewakili satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Sebagai contoh 924 diwakili dengan menempatkan simbol 4 di kolom satuan, simbol 2 di kolom puluhan dan simbol 9 di kolom ratusan.

Inilah yang sekarang kita sebut sebagai bilangan desimal dengan sistem nilai letak. Simbol dengan menggunakan batang bambu ini, membuat proses perhitungan menjadi sangan cepat. Bahkan, cara perhitungan yang dilakukan bangsa China Kuno sangat mirip dengan cara yang kita pakai saat ini. Bangsa China Kuno merupakan yang pertama kali menggunakan bilangan desimal dengan sistem nilai letak, mereka bahkan melakukannya lebih dari 1000 tahun sebelum bangsa Barat. Tetapi, mereka hanya menggunakan sistem nilai letak ketika menghitung dengan batang. Dalam penulisan, mereka tidak menggunakan sistem nilai letak tersebut. Mereka justru menggunakan metode yang lebih rumit dengan simbol-simbol khusus untuk mewakili puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Sehingga menjadi tidak efisien.

Namun, bangsa China Kuno tidak memiliki konsep untuk nol. Mereka juga tidak memiliki simbol untuk nol. Mereka menganggap nol tidak ada dalam sistem bilangan mereka. Saat menghitung menggunakan batang, mereka akan menggunakan ruang kosong sebagai nol. Masalahnya adalah saat mereka menuliskannya, mereka harus menciptakan simbol baru untuk puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Tetapi, mereka sangat jarang menggunakan angka nol dalam penulisan.

Banyak yang tertarik dengan angka China Kuno. Menurut legenda, pemimpin pertama kedaulatan China, Kaisar Kuning, memiliki salah satu dewa yang menciptakan matematika pada 2800 SM. Dan sampai sekarang, bangsa China masih mempercayai kekuatan mistik angka. Misalnya seperti angka ganjil yang dipandang sebagai pria dan genap sebagai wanita, angka 4 yang harus dihindari dari semua biaya karena membawa sial, dan angka 8 yang membawa keberuntungan.

Bangsa Tiongkok Kuno yang tertarik pada pola-pola bilangan kemudian mengembangkannya menjadi sudoku versi awal, yang disebut sebagai bujur sangkar ajaib. Legenda mengatakan bahwa ribuan tahun yang lalu Kaisar Yu didatangi oleh Penyu suci yang keluar dari kedalaman sungai Kuning. Di punggungnya terdapat nomor yang disusun menjadi bujur sangkr ajaib.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Semua angka dalam setiap baris horisontal, vertikal maupun diagonal, jika dijumlahkan maka jumlahnya akan sama, yaitu 15. Sekarang, bujur sangkar ajaib tidak lebih dari sebuah teka-teki yang menyenangkan, tetapi menunjukkan bahwa bangsa China Kuno tertarik pada pola matematika. Dan tidak lama setelah itu, mereka menciptakan bujur sangkar ajaib yang lebih besar dan lebih besar lagi.

Matematika juga memiliki peran penting dalam Pengadilan Kaisar. Kalender dan pergerakkan planet-planet merupakan yang paling penting bagi Kaisar karena mempengaruhi semua keputusan, bahkan sampai menentukan waktu untuk hari esok. Sehingga para astronom menjadi anggota kekaisaran yang sangat penting. Segala sesuatu dalam hidup Kaisar diatur oleh kalender. Kaisar bahkan meminta penasihat matematika untuk datang dan membantunya dalam mengatur waktu tidurnya yang melibatkan sejumlah perempuan yang ada dalam istananya. Kehidupan Kaisar dengan para wanita dalam istananya tersebut dikenal dengan deret ukur atau yang sekarang disebut sebagai deret geometri.

Di China Kuno juga ditemukan standar satuan berat, ukuran dan uang. Terdapat pula buku yang ditulis sekitar 200 SM, yang terdiri dari 9 bab dan berisi masalah-masalah dasar matematika seperti dalam perdagangan, pembayaran upah dan pajak.

Kemudian ditemukan cara untuk menyelesaikan suatu persamaan dengan menggunakan metode yang kita sebut metode eliminasi. Metode ini tidak muncul sampai abad 19, pada tahun 1809, ketika menganalisis batu Pallas di Sabuk Asteroid, Carl Friedrich Gauss, yang dikenal sebagai pangeran matematika menemukan kembali metode ini. China terus mengembangkan metode tersebut untuk persamaan yang lebih rumit yang kemudian dikenal dengan Teorema Sisa China.

Pada abad ke-6, Teorema Sisa China digunakan dalam astronomi China Kuno untuk mengukur pergerakan planet. Pada abad ke-13, matematika masuk dalam kurikulum pendidikan dan lebih dari 30 sekolah matematika tersebar di dunia.

Masa keemasan matematika China pun tiba. Yang berperan paling penting dalam hal ini adalah Qin Jiushao. Qin memulai dengan mencoba memecahkan persamaan di sekitarnya. Kemudian persamaan kuadrat. Tapi, Qin tertarik pada persamaan yang lebih rumit, yaitu persamaan kubik. Qin kemudian menemukan cara untuk menyelesaikan persamaan kubik. Yang mengejutkan adalah metode Qin untuk menyelesaikan persamaan kubik tidak ditemukan di Barat sampai abad ke-17, ketika Issac Newton menemukan metode yang sangat mirip dengan metode ini yang bahkan dapat digunakan untuk persamaan yang lebih rumit. Namun, metode yang digunakan Qin ternyata hanya memberinya perkiraan solusi, bukan solusi. Matematika adalah ilmu pasti. Namun, Qin tidak dapat memberikan solusi yang tepat untuk persamaan yang rumit.

India

China telah membuat lompatan besar bagi matematika. Penemuan berikutnya terdapat di negara sebelah Barat Daya China, India yang kaya akan tradisinya.

India telah menggunakan sistem nilai letak desimal sejak pertengahan abad ke-3. Orang Indialah yang menemukan simbol untuk 9 angka yang kita gunakan sekarang ini. Namun, ada satu angka yang hilang. Angka bru ini ditemukan di ukiran di dinding candi kecil di benteng di Gwalior, India Tengah. Angka baru tersebut adalah yang kita sebut dengan nol. Di Yunani Kuno, Mesir, Mesopotamia dan China, nol telah digunakan, tetapi hanya sebagai ruang kosong, mereka belum memiliki simbol untuk nol, dan nol tidak termasuk dalam sistem bilangan mereka. Sekarang, terdapat 10 digit angka dalam sistem bilangan, yaitu nol sampai sembilan. Dengan 10 digit angka tersebut, memungkinkan untuk menangkap nomor astronomis dengan cara yang sangat efisien. Ide dan simbol nol tersebut mungkin berasal dari cara perhitungan yang mereka lakukan dengan batu dan pasir.

Orang India menggunakan kata ‘shunya’ untuk mewakili istilah ‘nol’. Pada abad ke-7, seorang matematikawan India, Brahmagupta berhasil membuktikan beberapa sifat penting nol. Yaitu, suatu bilangan jika dijumlahkan dengan nol hasilnya bilangan itu sendiri, begitu pula jika sebuah bilangan dikalikan dengan nol hasilnya adalah nol. Namun, Brahmagupta mengalami kesulitan ketika berhadapan dengan pembagian oleh nol. Dia mengatakaan bahwa suatu bilangan jika dibagi dengan nol hasilnya bilangan itu sendiri. Pada abad ke-12, seorang matwmatikawan India, Bhaskara II memperbaiki kesalahan Brhamagupta, bahwa jika suatu bilangan dibagi dengan nol hasilnya adalah tak terhingga.

Kemudian ditemukan bilangan negatif, dimana orang India menyebutnya sebagai ‘hutang’. Kemampuan mereka menemukan nol dan bilangan negatif adalah karena mereka menganggap bilangan sebagai entitas abstrak. Hal ini yang menyebabkan munculnya ledakan ide-ide matematika. Mereka kemudian menemukan cara untuk menyelesaikan masalah persamaan kuadrat. Brahmagupta memandang bahwa persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan salah satunya bisa berupa bilangan negatif. Brahmagupta kemudian melanjutkan pada persamaan kuadrat dengan dua variabel yang belum ditemukan di Barat sampai tahun 1657 ketika Fermat, seorang matematikawan Perancis menantang rekan-rekannya dengan masalah yang sama. Brahmagupta mulai menemukan cara untuk memecahkan persamaan tersebut, tapi ia juga mengembangkan bahasa matematika baru untuk mengekspresikan abstraksi tersebut. Brahmagupta menggunakan simbol yang berbeda untuk mewakili nilai yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut, yang akhirnya mengarah pada x dan y.

Matematikawan India juga membuat dasar baru penemuan dalam teori trigonimetri. Meskipun pertaama kali dikembangkan oleh orang Yunani Kuno, trigonometri benar-benar berkembang di tangan matematikawan India. Ada pula fingsi sinus, yang ketika sudutnya diketahui, maka akan ditemukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut. Trigonometri ini juga digunakan oleh para astronom India untuk bekerja di luar jarak relatif antara Bumi dan bulan, dan Bumi dan matahari. Jadi, dengan menggunakan trigonometri, matematikawan India dapat mengeksplorasi tata surya tanpa harus meninggalkan Bumi.

Orang Yunani Kuno mungkin yang pertama kali mengeksplorasi fungsi sinus dan daftar nilai yang tepat untuk beberapa sudut, tetapi mereka tidak dapat menghitung sinus dari setiap sudut. Orang India mencari cara untuk menghitung fungsi sinus dari sudut manapun. Pencarian fungsi sinus dilanjutkan di Kerala, India Selatan. Seorang matematikawan, Madhava membuat beberapa penemuan luar biasa matematika. Kunci keberhasilannya adalah konsep yang tak terbatas. Madhava kemudian menemukan konsep bilangan pecahan. Madhava kemudian melakukan banyak penelitian antara seri (jumlah yang tak terbatas) dan trigonometri. Dia kemudian menyadari bahwa ia bisa menggunakan prinsip penjumlahan tak terhingga untuk menemukan nilai pi. Selama berabad-abad para matematikawan mencari nilai yang tepat untuk pi. Hingga pada abad ke-16, seorang matematikawan India, Aryabhata memberikan perkiraan yang sangat akurat untuk pi, yaitu 3,1416. Dia kemudian menggunakannya untuk mengukur keliling Bumi. Madhava kemudian menyadari ia dapat menggunakan jumlah tak terhingga untuk mendapatkan formula yang tepat untuk pi. Ia juga menggunakan jumlah tak terbatas untukrumus sinus dalam trigonometri.

Namun, penemuan-penemuan tersebut hampir semua diklaim oleh Barat. Madhava merupakan salah satu matematikawan yang menderita karenanya. Sekarang, sejarah matematika sedang ditulis ulang, bahwa matematikawan Timur banyak berdampak besar bagi Eropa.

Timur Tengah

Pada abad ke-7, di Timur Tengah mulai menyebar kerajaan Islam yang membentang dari India ke Maroko. Para ulama Muslim mengumpulkan dan menterjemahkan teks kuno. Tanpa mereka, kita tidak akan mengenal budaya Mesir Kuno, Babilonia, Yunani dan India. Namun, mereka tidak puas hanya dengan menterjemahkan saja, mereka ingin menciptakan matematika mereka sendiri.

Seorang sarjana Persia, Muhammad Al-Khwarizmi adalah orang luar biasa yang memperkenalkan konsep-konsep matematika di Barat. Al-Khwarizmi juga yang memperkenalkan angka-angka Hindu. Bahkan, angka-angka itu sekarang dikenal dengan angka Hindu-Arab. Al-Khwarizmi kemudian menciptakan bahasa baru matematika, yaitu ‘Aljabar’ dalam bukunya Al-Jabr Wal Muqabala.

Sebelumnya, China dan India telah mempertimbangkan masalah yang spesifik, namun Al-Khwarizmi menyelesaikan masalah dari spesifik ke umum. Dia mengembangkan cara yang sistematis untuk menganalisa masalah, sehingga akan didapatkan solusi yang tepat. Al-Khwarizmi kemudian menerapkan Aljabar pada persamaan kuadrat, dan akhirnya mengarah pada rumus yang dapat digunakan untuk setiap persamaan kuadrat.

Ommar Khayyam, yang merupakan seorang penyair terkenal menemukan metode untuk memecahkan semua persamaan kubik. Tetapi, ia masih sangat dipengaruhi oleh warisan geometris dari Yunani. Dia tidak dapat memisahkan aljabar dari geometri. Ia bahkan tidak mempertimbangkan persamaan dalam derajat yang lebih tinggi. Meskipun geometri memungkinkannya untuk menganalisis persamaan kubik sampai batas tertentu, ia masih tidak bisa menemukan solusi murni aljabar.

Italia

Selama berabad-abad, China, India dan kerajaan Islam telah menguasai matematika, sedangkan Eropa tertinggal jauh. Semua kehidupan intelektual, termasuk studi matematika, telah mengalami stagnasi. Tetapi, pada abad ke-13, Eropa mulai mengeksplorasi dan melakukan perdagangan dengan Timur.

Seorang matematikawan, Leonardo Fibonacci, dalam bukunya memperkenalkan sistem nomor yang baru (angka Hindu-Arab) yang lebih sederhana dibandingkan angka Romawi. Namun, angka tersebut ditentang oleh pemerintah. Namun, seiring berjalannya waktu, akal sehat pun menang dan sistem Romawi Kuno perlahan menjadi mati. Fibonacci juga menemukan deret yang sekarang disebut deret Fibonacci, yang muncul ketika ia mencoba memecahkan teka-teki tentang perkembangbiakan kelinci.

Secara umum, diasumsikan bahwa sebuah metode umum tidak mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kubik. Tartaglia kemudian membuktikan bahwa anggapan itu salah. Tapi dia sama sekali tidak terlihat. Tartaglia kemudian menemukan formula untuk menyelesaikan persamaan kubik. Namun, dia bukan satu-satunya. Ada pula Fior yang memegang rahasia untuk menyelesaikan persamaan kubik. Saat berita tentang penemuan dibuat oleh 2 ahli matematika, maka diadakan kompetisi matematika. Namun,Tartaglia hanya tahu cara untuk menyelesaikan satu jenis persamaan kubik saja. Tapi, hanya beberapa hari sebelum kompetisi, Tartaglia berhasil menemukan formula untuk menyelesaikan semua jenis persamaan kubik. Tartaglia pun mengalahkan Fior dalam kompetisi. Beritapun menyebar sampai matematikawan Milan, Cardano yang putus asa untuk menemukannya, kemudian membujuk Tartaglia untuk mengungkapkan rahasianya. Tetapi dengan satu syarat, Cardano harus menjaga rahasia dan tidak pernah mempublikasikannya. Tapi Cardano tidak bisa menahannya. Dia membahas solusi Tartaglia dengan muridnya, Ferrari. Ferrari menyadari ia bisa menggunakannya untuk persamaan yang lebih rumit. Cardano bersama dengan Ferrari kemudian mempublikasikan formula tersebut, dan sampai saat ini, rumus tersebut dikenal dengan rumus Cardano. Tartaglia miskin dan meninggal tanpa uang sepeserpun.

Orang-orang Eropa sekarang, memakai angka Hindu-Arab. Sudah saatnya dunia Barat mulai menulis sendiri cerita matematika dalam bahasa Timur. Revolosi matematika akan segera dimulai.